Die unendlichen Anwendungen von Nash-Gleichgewichten erklärt: Warum John Nash ein Genie war

Der Nobelpreisträger John F. Nash Jr. starb am Sonntag bei einem Autounfall.

Das Konzept des Nash-Gleichgewichts ist intuitiv, elegant und relativ leicht zu verstehen. Es ist spezifisch genug, um aussagekräftige Ergebnisse und Analysen zu generieren, aber dennoch allgemein genug, um erweitert und auf eine Vielzahl von Disziplinen angewendet zu werden.

John F. Nash Jr. starb am Sonntag bei einem Autounfall. Er war auf dem Heimweg vom Flughafen Newark, nachdem er gerade aus Norwegen zurückgekehrt war, wo er den renommierten Abel-Preis für Mathematik erhielt. Nashs Arbeit zur Spieltheorie, für die er 1994 den Wirtschaftsnobelpreis erhielt – er ist der einzige, der beide Auszeichnungen erhalten hat – ist wahrscheinlich seine bekannteste. Das Konzept des Nash-Gleichgewichts ist intuitiv, elegant und relativ leicht zu verstehen. Es ist spezifisch genug, um aussagekräftige Ergebnisse und Analysen zu generieren, aber dennoch allgemein genug, um es auf eine Vielzahl von Disziplinen auszuweiten und anzuwenden – zum Beispiel Evolutionsbiologie, Ökonomie, Verteidigungswissenschaft und Politik. Aber die mathematische Gemeinschaft betrachtet seine Arbeit in Geometrie und partiellen Differentialgleichungen als seine wichtigste und tiefste, so sein Abel-Preis-Zitat.

Es ist unglaublich, dass sowohl Nashs mit dem Nobelpreis als auch mit dem Abelpreis ausgezeichnete Arbeit im Alter von 30 abgeschlossen war. 1958 schrieb er nur eine 23-seitige Arbeit über partielle Differentialgleichungen, und wie Harold W. Kuhn während des Nobelseminars 1994 feststellte , die Ergebnisse, für die er diese Woche geehrt wird, stammen aus seinen ersten 14 Monaten des Aufbaustudiums. Tatsächlich kam Nash als Doktorand mit einem einzeiligen Empfehlungsschreiben von R. L. Duffin vom Carnegie Institute of Technology, wo er ein Studium absolvierte, nach Princeton: Dieser Mann ist ein Genie. A. W. Tucker, Nashs Doktorvater in Princeton, schrieb Jahre später: Manchmal fand ich diese Empfehlung extravagant, aber je länger ich Nash kenne, desto eher gebe ich Duffin recht.

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Aber Anfang 1959 geriet Nash außer Kontrolle und zeigte Symptome einer Schizophrenie. Er wurde paranoid und wahnhaft, und abgesehen von ein paar kurzen Phasen der Klarheit endete seine Forschung für etwa vier Jahrzehnte. Im selben Zeitraum wurden Nashs Name, das nicht-kooperative Spiel, dem er Form und Definition gab, und sein Konzept des Gleichgewichts Teil der grundlegenden spieltheoretischen Grundausbildung.

Was ist also ein nicht-kooperatives Spiel? Es ist kein Spiel, bei dem eine Zusammenarbeit aufgrund der Struktur der Auszahlungen ausgeschlossen ist, wie beispielsweise in einem Nullsummenspiel, bei dem der Vorteil eines Spielers den Verlust eines anderen impliziert. Es kann Spielräume für Kooperation im Spiel geben, sie ist jedoch ausgeschlossen, da es keinen Mechanismus wie einen rechtsverbindlichen Vertrag gibt, der die Verpflichtung zu kollusiven Strategien sicherstellt.

Ein einfaches und gefeiertes nicht-kooperatives Spiel ist das Gefangenendilemma (Bild oben). Angenommen, zwei Verschwörer werden gleichzeitig in getrennten Räumen verhaftet und verhört. Jede hat die Möglichkeit, zu gestehen oder Mutter zu bleiben, und es wird ein Deal angeboten: Wenn sie gesteht (aber der Mittäter nicht), kann sie ungeschoren davonkommen, während der Komplize für 10 Jahre ins Gefängnis kommt. Aber wenn beide schweigen würden, würden sie jeweils für ein Jahr wegen Kleinkriminalität ins Gefängnis kommen. Und wenn beide gestehen, würden sie jeweils für acht Jahre ins Gefängnis.

Das einzigartige Nash-Gleichgewicht des Spiels ist das Geständnis beider Spieler. Interessanterweise wären beide besser dran, wenn keiner gestehen würde. Aber das ist kein Nash-Gleichgewicht, das als stabiler Zustand definiert ist, in dem kein Spieler das Ergebnis für sich selbst verbessern kann, wenn man bedenkt, was die anderen Spieler tun. Nehmen Sie für einen Moment an, dass beide Spieler irgendwie andeuten, dass sie sich entscheiden werden, nicht zu gestehen. In einer solchen Situation, da Spieler B nicht gesteht, wäre Spieler A besser dran, wenn er zurücktritt und sich stattdessen für ein Geständnis entscheidet – keine Gefängnisstrafe ist attraktiver als ein Jahr hinter Gittern. Dasselbe gilt für Spieler B. Beide würden also von ihrer Verpflichtung zum Schweigen abweichen und stattdessen Geständnisse machen.

Die Anwendungsmöglichkeiten von Nash-Gleichgewichten und nicht-kooperativen Spielen sind unendlich. Einige in Indien haben beispielsweise festgestellt, dass privates Kapital heute anscheinend darauf wartet, dass der Investitionszyklus in Gang gesetzt wird, bevor es ihr eigenes Geld einlegt. Diese Situation könnte als nicht kooperatives Spiel zwischen zwei potenziellen Investoren modelliert werden, bei dem die Vorteile einer Investition nur realisiert werden, wenn beide in ihr Geld sinken. In einem solchen Spiel gibt es zwei Nash-Gleichgewichte: eines, in das beide Spieler investieren, und zwei, in das keiner investiert. Wir scheinen im schlechten Gleichgewicht zu stecken. Und während Nash die Existenz mindestens eines Gleichgewichts für ein nicht kooperatives Spiel beweisen konnte, schweigt die Theorie darüber, warum ein bestimmtes Gleichgewicht resultiert und kein anderes. Hier kommen Regierung, Gesellschaft und Normen ins Spiel – um uns von schlechten Gleichgewichten zu guten zu bringen.

parth.mehrotra@expressindia.com

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