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Erklärt: Wie eine 65-jährige Matheaufgabe gelöst wurde

Ein Algorithmus, ein Supercomputer, 2 Mathematiker, ungenutzte Energie von 5 lakh Heim-PCs: für „Spaß und Philosophie“.

Erklärt: Wie eine 65-jährige Matheaufgabe gelöst wurdeWie viele Zahlen von 1 bis 100 können als Sonne aus drei Würfeln ausgedrückt werden? Mit 33 und 42 haben die Mathematiker nun die letzten Hürden genommen.

Nehmen Sie die Zahl 9. Sie kann als die Summe von 0, 1 und 8 ausgedrückt werden, die jeweils die Würfel von 0, 1 und 2 sind. Oder nehmen Sie 17, was 1 + 8 + 8 ist, oder die Summe der Würfel von 1, 2 und 2. Wie viele andere Zahlen von 1 bis 100 können als Summe der Kuben von drei ganzen Zahlen (ganze Zahlen, positiv oder negativ) ausgedrückt werden?





Dies ist ein Rätsel mit seinen Wurzeln in den Jahren 1954-55, als es von Mathematikern der University of Cambridge beschrieben wurde. Es ist nicht so einfach, wie es aussehen mag. Während 9 und 17 Lösungen mit positiven Würfeln liefern, erfordern einige Zahlen negative. 11 ist beispielsweise 27 – 8 – 8, was als (– 8) + (– 8) + 27 oder die Summe der Würfel von – 2, – 2 und 3 ausgedrückt werden kann. Andere Zahlen können viel schwieriger sein , was große Würfel mit Negativen erfordert. Zum Beispiel 51, was die Summe der Würfel von – 796, 602 und 659 ist, oder (– 504.358.336) + 218.167.208 + 286.191.179.

Wie sich herausstellt, hat nicht jede Zahl eine Lösung. Bei ihrer Suche nach Lösungen haben Mathematiker eine Regel abgeleitet, die besagt, dass bestimmte Zahlen nicht als Summe von drei Würfeln ausgedrückt werden können. Für die Zahlen, die nicht unter diese Regel fallen, suchten sie immer wieder nach Lösungen und fanden sie nacheinander.



Nur zwei Lösungen erwiesen sich als schwer fassbar – für 33 und 42. Im März dieses Jahres wurde endlich eine Lösung für 33 gefunden. In diesem Monat hat sich derselbe Mathematiker mit einem anderen zusammengetan, um eine Lösung für 42 zu finden und das Problem endgültig zu lösen.

Der Sinn von allem, wenn überhaupt



Warum sollte es eine Rolle spielen, ob wir eine bestimmte Zahl als Summe von drei Würfeln ausdrücken können oder nicht? Meistens macht es nur ein bisschen Spaß, sagte Andrew Booker von der University of Bristol, der Mathematiker, der an den Lösungen für 33 und 42 gearbeitet hat. Ernster, fügte Booker in seiner E-Mail an . hinzu Diese Internetseite , als Zahlentheoretiker, grenzt unser Interesse an solchen Problemen an ein philosophisches, nach dem Motto „Ist es überhaupt möglich, dieses Problem zu lösen?“

Es gibt viele mathematische Probleme, die leicht zu formulieren, aber schwer zu lösen sind; Es wurde auch entdeckt, dass es Probleme gibt, die eigentlich unmöglich zu lösen sind.




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Im März veröffentlichte die Zeitschrift Research in Number Theory Bookers Lösung für 33 als Summe von drei Würfeln, die er mit einem Computeralgorithmus gefunden hatte. Jetzt haben Booker und ein anderer Mathematiker, Andrew Sutherland vom Massachusetts Institute of Technology, denselben Algorithmus verwendet, um nach 42 aufzulösen.

Schwierige Suche und Entdeckung



Einige Zahlen können auf mehr als eine Weise als Summe von drei Würfeln ausgedrückt werden. 10 ist zum Beispiel 1 + 1 + 8 (die Würfel von 1, 1 und 2) und auch 64 – 27 – 27 (die Würfel von 4, – 3, – 3).

Für jede ganze Zahl gibt es eine Vermutungsformel für die durchschnittliche Dichte der Lösungen, sagte Booker. Bei 33 und 42 sei diese Dichte besonders gering, sagte er.



Booker verbrachte Wochen auf einem Supercomputer, bevor er für 33 eine Antwort fand. Für 42 nutzten Booker und Sutherland Charity Engine, eine Crowdsourcing-Plattform, die ungenutzte Rechenleistung von über 500.000 Heim-PCs nutzt. Es benötigte über eine Million Stunden an gepooltem Computing, was in Echtzeit zu viel weniger führte. Wir hatten einige Kinderkrankheiten, den Code in ihrem Netzwerk zum Laufen zu bringen, aber als wir loslegten, dauerte es weniger als eine Woche, um die Lösung zu finden, sagte Booker.

Die Zahl 42 ist die Summe der Würfel von (i) 12.602.123.297.335.631; (ii) 80.435.758.145.817.515; und (iii) minus 80.538.738.812.075.974. Und 33 ist die Summe der Würfel von (i) 8.866.128.975.287.528; (ii) minus 8.778.405.442.862.239; und (iii) minus 2.736.111.468.807.040.



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